有限情報射影による普遍的局在化機構

1. 序論

1.1 動機

現代の物理理論—量子力学、場の理論、熱力学—は連続状態空間上で定式化され、数学的記述において無限の精度を仮定している。しかし実際には、すべての物理的観測と数値的実現は有限の分解能に制限される。宇宙自体が有限の情報容量を持つならば、この制限は単なる技術的人工物としてではなく、物理ダイナミクスに対する構造的制約として扱われるべきである。

創生的宇宙論（YAGC）の枠組み内での先行研究は、有限情報更新機構と実験ツール（V4.5）を通じて、また一般光量子化の現象論的研究（V59）を通じてこのアイデアを探求してきた。本研究はこれらの発展を単一の法則横断的枠組みに統合・拡張する。

1.2 読み方についての注記（コードファースト / AI支援アプローチ）

1.3 スコープと位置づけ

我々は新しい場の理論を導入しない。むしろ、既存の物理法則を基盤にある動的に安定な有限情報更新構造の有効的記述として再解釈する。κ → 0の極限では標準的な定式化が回復される。有限のκは有界情報伝搬に関連する普遍的補正を導入する。

2. Σ原理

2.1 定義

Σ演算子は3つの操作の合成として定義される：

ここで P_Q は有限精度射影、D_κ は有限到達距離を持つ情報吸収、M_α は残留時間記憶を導入する。

2.2 再量子化 (P_Q)

有限情報宇宙は任意に精密な状態表現を保存できない。これを粗視化射影 P_Q によってモデル化する。これは連続状態を有限表現にマッピングする。関連する誤差項は数値的人工物ではなく、情報損失レジスタとして機能する。

2.3 情報吸収 (D_κ)

次元整合性と状態自律性を確保するため、状態依存の吸収率を定義する：

ここで ρ(x) は局所確率または場の密度、v_* は特性情報速度である。この項は無制限の伝搬を抑制し、外部境界を参照することなく局在化を誘導する。

2.4 時間記憶 (M_α)

記憶成分は減衰カーネルを通じて非マルコフ効果を導入し、時間を通じた更新の連続性を確保し、動的履歴の突然の喪失を防ぐ。

3. 普遍的更新形式

ここで考察するすべての動力学法則は統一形式で書くことができる：

ここで L は法則固有の生成子、I はΣによって誘導される情報伝達項である。

4. Σ安定性と有界性

4.1 Σ安定性

Σ安定性を、Σの反復適用が状態空間の有界領域に閉じ込められた軌道を生成する性質として定義する。

4.2 有界性補題（非形式的）

有限精度、有限伝搬、有限記憶深度を満たす任意の更新則は、反復の下で非拡大的な位相空間発展を許容する。ここで厳密な証明は提供しないが、この補題は多様なシステムにわたる有界アトラクタの出現を動機づける。

5. 既知の物理学との関係

パラメータ κ は逆長さの次元を持ち、空間的広がりあたりの情報損失率として解釈できる。特性情報速度 v_* を導入すると、有効減衰率 Γ(x) は正しい物理次元（逆時間）を獲得する。この意味で、κ は空間的到達距離を制御し、v_* は情報散逸の時間スケールを設定する。

操作的には、κ はデコヒーレンス率 γ_dec、平均自由行程、吸収係数などの既知の物理量に関連付けることができる。例えば：

したがって κ は自由定数として導入されるのではなく、有限情報更新の枠組み内での既存の物理スケールの再解釈である。

6. 数値実験

代表的な数値実験は、Σの導入が量子、熱、波動方程式にわたって局在化を誘導することを確認する。典型的なシミュレーションでは、単位幅（σ₀ = 1）のガウス初期状態が κ ∈ [0.02, 0.10] の下で同一の離散化と更新スキームを用いて発展された。

7. 考察

Σ原理は、局在化が特定の方程式の特別な性質ではなく、有限情報更新の一般的帰結であることを示唆する。この観点から、従来の連続理論は基盤にある動的に安定な構造の極限的場合として出現する。

8. 結論

我々はΣ原理を、有限情報宇宙における普遍的局在化を理解するための現象論的枠組みとして提示した。物理法則を制約された更新構造内で作用する有効生成子として再構成することにより、複数の領域にわたる局在化の統一的解釈を提供する。

付録